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En un Mois: 109Eléments d'analyse : Tome 7, Equations fonctionnelles linéaires, Première partie : Opérateurs pseudo-différentiels
By Jean Dieudonné
- Publisher: Jacques Gabay
- Number Of Pages: 320 p
- Publication Date: 2003-11-27
- ISBN-10 / ASIN: 2876472171
- ISBN-13 / EAN: 9782876472174
Tome 7 - Chapitre XXIII
ÉQUATIONS FONCTIONNELLES LINÉAIRES
Première partie OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS
Ce chapitre a pous sujet principal la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles, une des branches les plus importantes de lAnalyse, tant par ses répercussions dans beaucoup d'autres parties des mathématiques que par ses innombrables applications à la Mécanique, lAstronomie et la Physique. Malgré sa longueur, il est très loin de constituer un exposé complet des connaissances actuelles dans ce domaine ; l'exposé a été limité aux trois types d'équations qui (en raison de leurs applications) ont été depuis 200 ans au premier plan des recherches : les équations elliptiques, hyperboliques et paraboliques, dont les prototypes sont respectivement l'équation de Laplace, l'équation des ondes et l'équation de la chaleur.
Les résultats comprennent quelques-uns des plus grands succès de l'Analyse moderne, obtenus grâce à une fusion harmonieuse et féconde des méthodes classiques (intégration par parties, théorie de Cauchy des fonctions holomorphes, transformation de Fourier) et des idées issues de l'Analyse fonctionnelle "abstraite" ; tout au long du chapitre le lecteur aura donc l'occasion de voir intervenir de façon essentielle les notions et résultats développés dans tous les chapitres antérieurs.
La première partie du chapitre, qui fait l'objet de cet ouvrage, est principalement consacrée, d'abord à l'étude des opérateurs intégraux (dont on n'a rencontré jusqu'ici que l'exemple le plus simple, l'opérateur de Fredholm), puis à la théorie des opérateurs pseudo-différentiels et de certaines de leurs généralisations. Grâce à la théorie des distributions, ces théories englobent à la fois les opérateurs différentiels et certains opérateurs intégraux et constituent les outils qui permettront d'attaquer dans la seconde partie du chapitre (tome 8), les principaux types de "problèmes aux limites".
TABLE DES MATIÈRES::10
notations::12
Chapitre XXIII Équations fonctionnelles linéaires , Première partie Opérateurs pseudo-différentiels::18
1. opérateurs intégraux::23
2. opérateurs intégraux de type propre::26
3. opérateurs intégraux sur les fibrés vectoriels::31
4. fibré des densités et sections noyaux::35
5. sections bornées::42
6. opérateurs de Volterra::45
7. opérateurs de Carleman::51
8. fonctions propres généralisées::61
9. distributions noyaux::68
10. distributions noyaux régulières::78
11. opérateurs régularisants et composition des opérateurs::84
12. microsupport singulier d'une distribution::92
13. équations de convolution::100
14. solutions élémentaires::107
15. problèmes d'existence et d'unicité pour les systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles::116
16. symboles d'opérateurs::129
17. intégrales oscillantes::138
18. opérateurs de Lax-Maslov::149
19. opérateurs pseudo-différentiels::154
20. symbole d'un opérateur pseudo-différentiel de type propre::166
21. opérateurs pseudo-différentiels matriciels::175
22. paramétrix des opérateurs elliptiques sur un ouvert de R^n::178
23. opérateurs pseudo-différentiels dans les espaces Hs,0(X)::189
24. problème de dirichlet classique et problèmes de dirichlet grossiers::203
25. l'opérateur de green::211
26. opérateurs pseudo-différentiels sur une variété::216
27. adjoint d'un opérateur pseudo-différentiel sur une variété. composé de deux opérateurs pseudo-différentiels sur une variété::222
28. extension des opérateurs pseudo-différentiels aux sections distributions::228
29. symboles principaux::235
30. paramétrix des opérateurs elliptiques : cas des variétés::239
31. théorie spectrale des opérateurs elliptiques hermitiens : i. prolongements autoadjoints et conditions aux limites::251
32. théorie spectrale des opérateurs elliptiques hermitiens : ii. fonctions propres généralisées::256
33. opérateurs pseudo-différentiels essentiellement autoadjoints : i. opérateurs de convolution hermitiens sur R^n::266
34. opérateurs pseudo-différentiels essentiellement autoadjoints : ii. spectres atomiques::269
35. opérateurs pseudo-différentiels essentiellement autoadjoints : iii. opérateurs elliptiques hermitiens sur une variété compacte::275
36. opérateurs différentiels invariants::288
37. propriétés différentielles des fonctions sphériques::298
38. exemple : harmoniques sphériques::301
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