L'Homme de vérité
By Jean-Pierre Changeux

Eléments d'analyse : Tome 9, Topologie algébrique, topologie différentielle élémentaire
By Jean Dieudonné

Quatrième de couverture 

Le but de ce chapitre est d'initier les analystes aux premiers rudiments de la Topologie algébrique et de la Topologie différentielle, deux des domaines les plus actifs des recherches modernes. Conformément à l'esprit de l' "Analyse globale" qui est celui de ce Traité, c'est la cohomologie des variétés différentielles et des espaces fibrés qui est au centre de ce chapitre, ainsi que ses relations les plus élémentaires avec les structures additionnelles portées par les variétés, telles que connexions ou structures de groupes. Lorsqu'on se borne à la cohomologie à coefficients réels ou complexes, on y accède immédiatement à l'aide des formes différentielles, sans les moindres préliminaires "combinatoires", et en n'utilisant comme outil algébrique que la suite exacte de cohomologie.

Toutefois c'est présenter une image incomplète de la théorie que de se limiter à la cohomologie à coefficients réels. Aussi, après avoir donné les propriétés essentielles de cette dernière, on aborde également la théorie de l'homologie singulière, en la mettant, comme de Rham, en rapport avec l'homologie des courants (duale de la cohomologie sur une variété orientée), la jonction se faisant par la formule de Stokes ; mais on se limite aux notions combinatoires strictement indispensables pour permettre le calcul de l'homologie des variétés différentielles les plus fréquemment rencontrées.

XXIV -Topologie algébrique et topologie différentielle élémentaire.
Table de résultats sur l'homologie d'espaces particuliers.
Cohomologie et cohomologie à supports compacts d'une variété différentielle. - La formule d'homotopie. - Les suites de Mayer-Vietoris. - Cohomologie des sphères. - Le théorème de Künneth. - La dualité de Poincaré. - Cohomologie d'une sous-variété compacte. - Les théorèmes de Brouwer. - Degré d'une application. - Homologie des courants. - Homologie des courants sur une variété orientée. - Régularisation des courants. - L'anneau d'intersection. - La formule de Stokes. - Applications : I. Nombre de racines d'une équation. - Applications : II. Intersections de courbes algébriques sur une surface algébrique. - Homologie des courants cellulaires. - Subdivisions cellulaires et simpliciales. - Bords des courants simpliciaux. - Chaînes simpliciales formelles et homologie singulière. - Lemmes de subdivision. - Propriétés de l'homologie singulière. - Les théorèmes de de Rham : I. Courants associés à une subdivision simpliciale. - Les théorèmes de de Rham : II. Approximation d'un courant par les courants d'une subdivision simpliciale. - Les théorèmes de de Rham : III. Prolongement de p-formes. - Les théorèmes de de Rham : IV. Fin de la démonstration. - Structure des modules d'homologie. - Homologie des complexes simpliciaux euclidiens compacts. - La cohomologie singulière. - Structure des groupes de cohomologie. - L'anneau de cohomologie singulière. - Cohomologie singulière des complexes simpliciaux euclidiens compacts. - Cohomologie singulière d'une variété différentielle. - La cohomologie singulière à supports compacts. - Homologie et cohomologie singulière relatives. - Cohomologie relative et cohomologie à supports compacts. - Excision et suites de Mayer-Vietoris relatives. - Cohomologie des produits de variétés et des espaces fibrés. - Suite de Gysin et classe d'Euler. - Cohomologie des grassmanniennes. - Classes de Chern. - Propriétés des classes de Chern. - Classes de Pontrjagin. - Compléments sur les formes différentielles vectorielles et les connexions principales. - L'homomorphisme de Weil. - Courbure et classes caractéristiques. - Classes de Stiefel-Whitney. - La théorie de Hodge. - La formule d'Atiyah-Bott-Lefschetz. - Applications : I. La formule de Hopf pour les champs de vecteurs. - Applications : II. Formules de Bott pour les classes caractéristiques. - Cohomologie des groupes de Lie. - Éléments primitifs.

Annexe -Compléments d'algèbre (suite).
Produits infinis de modules. - Produits tensoriels de modules. - Suites exactes. - Cohomologie d'un module différentiel gradué. - Homologie et cohomologie d'un Z-module codifférentiel gradué libre. - Compléments sur les espaces vectoriels. - Le pfaffien.- Compléments sur les Z-modules de type fini.

Eléments d'analyse : Tome 7, Equations fonctionnelles linéaires, Première partie : Opérateurs pseudo-différentiels
By Jean Dieudonné

Tome 7 - Chapitre XXIII
ÉQUATIONS FONCTIONNELLES LINÉAIRES
Première partie OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS
Ce chapitre a pous sujet principal la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles, une des branches les plus importantes de lAnalyse, tant par ses répercussions dans beaucoup d'autres parties des mathématiques que par ses innombrables applications à la Mécanique, lAstronomie et la Physique. Malgré sa longueur, il est très loin de constituer un exposé complet des connaissances actuelles dans ce domaine ; l'exposé a été limité aux trois types d'équations qui (en raison de leurs applications) ont été depuis 200 ans au premier plan des recherches : les équations elliptiques, hyperboliques et paraboliques, dont les prototypes sont respectivement l'équation de Laplace, l'équation des ondes et l'équation de la chaleur.
Les résultats comprennent quelques-uns des plus grands succès de l'Analyse moderne, obtenus grâce à une fusion harmonieuse et féconde des méthodes classiques (intégration par parties, théorie de Cauchy des fonctions holomorphes, transformation de Fourier) et des idées issues de l'Analyse fonctionnelle "abstraite" ; tout au long du chapitre le lecteur aura donc l'occasion de voir intervenir de façon essentielle les notions et résultats développés dans tous les chapitres antérieurs.
La première partie du chapitre, qui fait l'objet de cet ouvrage, est principalement consacrée, d'abord à l'étude des opérateurs intégraux (dont on n'a rencontré jusqu'ici que l'exemple le plus simple, l'opérateur de Fredholm), puis à la théorie des opérateurs pseudo-différentiels et de certaines de leurs généralisations. Grâce à la théorie des distributions, ces théories englobent à la fois les opérateurs différentiels et certains opérateurs intégraux et constituent les outils qui permettront d'attaquer dans la seconde partie du chapitre (tome 8), les principaux types de "problèmes aux limites".

Eléments d'analyse : Tome VIII, Equations fonctionnelles lilnéaires, Deuxième partie : problèmes aux limites
By Jean Dieudonné

Tome 8 - Chapitre XXIII ÉQUATIONS FONCTIONNELLES LINÉAIRES
Deuxième partie PROBLÈMES AUX LIMITES
Pour les équations paraboliques ou strictement hyperboliques, on n'a envisagé que le problème de Cauchy local, ou le cas où les données de Cauchy sont portées par une variété compacte sans bord ; et pour les équations elliptiques, hormis le cas particulier des équations différentielles ordinaires, on ne s'est guère occupé que du problème de Dirichlet dans un ouvert borné de Rn et des problèmes aux limites de même type. Par contre, dans ce domaine volontairement restreint, l'auteur n'a accordé aucune place privilégiée aux équations à coefficients constants ni aux équations du second ordre (à l'exception d'une section sur le principe du maximum). Il a surtout voulu montrer comment l'usage systématique des opérateurs de Lax-Maslov et des opérateurs pseudodifférentiels, conjugués, dans le cas des équations elliptiques, avec la théorie spectrale des opérateurs dans les espaces hilbertiens, conduit à des méthodes de solution beaucoup plus naturelles et explicites que les méthodes basées sur les "inégalités a priori", et donne directement (lorsque toutes les données sont indéfiniment différentiables) de vraies solutions indéfiniment différentiables, et non des solutions "faibles" inutilisables dans les applications.