Méthodes des moindres carrés : éléments de la théorie du traitement statistique des observations
By Iourii Vladimirovitch Linnik, O. Arkhipoff (trad.)
- Publisher: Dunod impr. Jouve
- Number Of Pages: 356
- Publication Date: 1962
- ISBN-10 / ASIN: B0014UFRTO
- ISBN-13 / EAN:
TABLE DES MATIERES
Pages
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Exposé du problème et exemples caractéristiques.......... 1
2. Bref historique de la nléthode des moindres carrés. . . . . . . . . . 12
CHAPITRE 1. - Compléments d'algèbre
1. Les vecteurs ........................................... 15
2. Equations linéaires. Matrices.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Théorèmes sur les déterminants. Déterminant de Gram .... . . 24
4. Matrices symétriques. Formes quadratiques. Matrices orthogonales . . . . . . . . . . 29
CHAPITRE II. - Compléments de calcul des probabilités
1. Grandeurs aléatoires .................................... 34
2. Vecteur aléatoire normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3. Fonctions linéaires d'un vecteur normal à n dimensions. . . . . . 48
4. Vecteur normal réduit. Ellipsoïde indicateur. Ellipsoïde d'égale dispersion ............. 60
5. Comparaison des distributions normales entre elles. . . . . . . . . . 65
6. Lois dérivées de la loi normale utilisée en statistique mathématique . . . . . . . . . . 67
7. Distributions approximativement normales. Leur rôle en statistique . . . . . . . . . . . 75
CHAPITRE III. - Compléments de statistique mathématique
1. Echantillons et statistiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Estimation de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Précision d'une estimation de paramètres pour une taille d' échantillon donnée ..
4. Compléments sur l'estimation de paramètres. Méthodes fondamenta d'estimation........
CHAPITRE IV. - Mesures directes d'égale précision
1. Estimation ponctuelle ................................... 97
2. Estimation par la méthode de intervalles de confiance ...... 99
3. Estimation de la précision de mesures d'égale précision ...... 104
4. ExemlIe s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. 106
5. Etude des observations aberrantes ........................ 112
6. Critère d'Abbe ......................................... 114
7. Observations groupées, directes et d'égale précision ......... 117
8. Exemple .............................................. 121
CHAPITRE V. - Mesures directes d'inégale précision
1. Exposé du problème .................................... 124
2. Estimation ponctuelle de a et 0'2 .......................... 126
3. Estimation de a et 0'2 par la méthode des intervalles de confiance .................... 130
4. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 134
CH APITRE VI. - Mesures indirectes et non conditionnelles
1. Exposé du problème ....................................
2. Application de la méthode des moindres carrés .............
3. Application du calcul matriciel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Equations normales et propriétés statistiques de leurs solutions
5. Signification de l'estimation ponctuelle par la méthode des moindres carrés ............
6. Comportement statistique des écarts V ....................
7. Estimation ponctuelle des grandeurs Yi (i = 1, 2, ..., N) .....
8. Estimation des paramètres par la méthode des intervalles de confiance ............................................
9. Estimation de la précision des mesures ....................
10. Retour au cas des mesures directes. Poids. . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. Formules et règles d'estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Méthodes de résolution des équations normales. Méthodes de Gauss et Gauss-Doolittle . . . . . . . . . . . . . .
13. Exemples ..............................................
CHAPITRE VII. - Combinaisons linéaires de paramètres pour des observations indirectes
1. Exposé du problème .................................... 191
2. Théorème de J. Neyman et F. David. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 192
3. Estimation des formes linéaires .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 197
4. Formules et règles d'estimation des fonctions linéaires de paramètres . . . . . . . . . . .. 199
5. Cas particuliers rencontrés dans la pratique. Le problème de la régression linéaire . . . . . . . . . . .. 201
6. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 207
CHAPITRE VIII. - Mesures indirectes liées (conditionnelles). Compensation par les éléments
1. Exposé du problème .................................... 213
2. Compensation par les éléments suivant la méthode des moindres carrés ..................... 216
3. Règles concernant la compensation par les éléments. . . . . . . .. 219
CHAPITRE IX. - Compensation par les corrélatifs
1. Exposé du problème .................................... 223
2. Calcul des estimateurs au moyen des corrélatifs . . . . . . . . . . . .. 225
3. Démonstration de la propriété du minimum ................ 229
4. Comportement statistique des corrélatifs et des estimateurs .. 231
5. Diverses expressions de [pvv] et comportement statistique de cette quantité ...... 234
6. Estimation de Yi et (j par la méthode des intervalles de confiance 240
7. Estimation de combinaisons linéaires des paramètres mesurés pour des observations indirectes. . . .. 241
8. Comparaison entre la méthode de compensation par les éléments et celle par les corrélatifs ............. 242
9. Formules et règles concernant la compensation par les corrélatifs . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 243
10. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245
CHAPITRE X. - Exemples d'application à la géodésie
1. Compensation dans le cas d'un nivellement par cheminement . 253
2. Compensation dans le cas d'un nivellement par rayonnement à partir de plusieurs repères ............ 256
3. Mesure des angles horizontaux selon la méthode de Gauss-Schreiber .................................. 262
CHAPITRE XI. - Estimation des résultats donnés par des intersections directes et inverses
1. Intersection directe à l'aide de plus de deux points. Régions de confiance ........................ 271
2. Intersection directe à partir de deux points pour des observations répétées......................... 280
3. Intersection inverse à partir de plusieurs points. Régions de confiance ............................ 286
4. Les régions de confiance dans le problème de Pothenot et dans le cas de nombreuses mesures ......... 288
CHAPITRE XII. - L'interpolation parabolique suivant la méthode des moindres carrés
1. Exposé du problème .................................... 290
2. Equations normales. Polynômes orthogonaux de Tchebychev. 291
3. Test de l'hypothèse de l'existence d'une régression parabolique d'ordre donné. Exemples .......... 299
CHAPITRE XIII. - Quelques résultats de A. Wald. Régression orthogonale directe et applications
1. Exposé du problème. Estimateurs convergents. . . . . . . . . . . . .. 307
2. Intervalles de confiance ................................. 312
3. Groupement des observations ............................ 318
4. Régression orthogonale (Gradient). Applications. . . . . . . . . . . .. 319
CHAPITRE XIV. - Compléments sur la méthode des moindres carrés
1. Ellipsoïdes de confiance ................................. 321
2. Observations liées ...................................... 327
3. Le rôle de la loi normale dans la méthode des moindres carrés.. 329
4. Non-normalité du vecteur des erreurs. Une formule de Gauss.
Théorème de A. N. Kolmogorov, A. A. Petrov et Y. M. Smirnov ..................................... 333
5. Traitement des observations par la méthode de Cauchy. . . . .. 340
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Annexes ....................................................... 351